月: 2021年8月

クォータニオンのサンドイッチ作用を使えば 回転軸wの回転をあらわすクォータニオンq(v,w)、 別の回転を表すクォータニオンrに対して、 rqr^{-1}で表現できる （普通の回転行列は3×3行列なので3×1行列にはできないので！） というお話で講演終了。 「作用」がなんだったのかモヤったので質問しました https://j.mp/3jc0eUI

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サンドイッチ作用の原理 ある点xがQによってyに回転されるとき、別の回転行列Rで座標変換するとどうなる？ 式として表現する(スクショ撮りそびれたけどそこそこ長い) 図で表現すると RQR^{-1} https://j.mp/3B9ELl9

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まずは2次元回転行列での説明 ・回転の合成 ・各ベクトルの回転（各要素の作用） はそれぞれ異なる式になるが 複素数で1つで表現できる https://j.mp/3B9EONR

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左辺はクォータニオンで表した3次元回転、これが「サンドイッチ作用」の数学的背景でもある。 ちなみに「サンドイッチ作用」ってのは行列の掛け算の順番と挟むと消せる話だろうか（知らなかったのであとで質問しておく） 続いてクォータニオンのメリットと心 https://j.mp/3jcZ5Mu

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このセッションの大事なスライド(紫)。 SU(2)というリー群とSO(3)という三次元回転行列とつながっている。これを随伴表現という。 これがクォータニオンが3次元回転とつながっている数学的背景。 https://j.mp/3jcZaQi

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クォータニオンの場合はSO(3)がいきなり出てくるのではなく、SU(2)というクォータニオンの行列表現になる。 つまり、SU(2)は単位クォータニオン。su(2)は純クォータニオン、実数部がない。 （点みたいなもの） https://j.mp/3jclV6Z

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3次元回転行列のリー環 3×3の定数行列3つ リー環の使用例：長さ１のベクトルwと実数θに対して、指数写像を取ると三次元回転行列をとると、Axis-Angle回転になる。 （簡単） https://j.mp/3B9eJii

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exp Aのテイラー展開でのたとえ リー環(Lie algebra)は、リー群(Lie group)での演算を線形的に（足し算とスカラー乗法）具現できる リー環の元からの指数写像をとるとリー群の元になる。 元（げん）と読みます https://j.mp/2UI5END

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